Triángulos

Triángulo dados un lado, el ángulo opuesto y su altura

Enunciado

Construye el triángulo ABC del que se conocen el lado a = BC = 60 mm, el ángulo A = 60° y la altura sobre a, hₐ = 40 mm.

Resolución paso a paso

  1. Trazar la mediatriz. Pincha el compás en B con una abertura mayor que la mitad de BC y traza un arco a cada lado del segmento. Sin cambiar la abertura, pincha en C y traza otro arco que corte a los anteriores en 1 y 2. Une 1 y 2 con la regla. Esa recta es la mediatriz y corta a BC en su punto medio M. Por qué: Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de B y de C. Con el mismo radio desde ambos extremos encontraremos dos de esos puntos.
  2. Tangente a 60° en B. Por B, traza una recta t que forme 60° con BC, por debajo del lado. Por qué: El vértice A ve el lado BC con 60°, así que está en el arco capaz de 60° de BC. Esta recta es su tangente en B.
  3. Trazar la perpendicular. Con centro en B, traza un arco que corte la recta t en 1 y 2. Desde 1 y desde 2, con una misma abertura (mayor que la mitad de 12), traza dos arcos que se corten en 3. Une B y 3: es la perpendicular a t por B. Por qué: 1 y 2 quedan a la misma distancia de B: la perpendicular buscada será la mediatriz de 12.
  4. Arco capaz de 60°. La perpendicular corta a la mediatriz en O. Con centro en O y radio OB, traza el arco capaz sobre BC. Por qué: Primer lugar geométrico de A: los puntos desde los que BC se ve con 60°.
  5. Paralela a 40 mm. Traza la paralela a BC a 40 mm, por encima. Por qué: Segundo lugar geométrico de A: los puntos que están a la altura hₐ = 40 mm del lado BC.
  6. Vértice A. La paralela corta al arco capaz en A (y en A', simétrico respecto de la mediatriz). Une A con B y con C. Por qué: A cumple las dos condiciones a la vez. Con A' sale un triángulo igual, simétrico: el problema tiene una solución.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición. Cuando un punto tiene que cumplir dos condiciones, se dibuja el lugar de cada una y el punto está donde se cortan. Es la herramienta con la que se resuelven casi todos los problemas de triángulos y tangencias.

Arco capaz

El arco capaz de un ángulo α sobre un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos desde los que AB se ve con el ángulo α. Son dos arcos simétricos respecto de AB. El de 90° es la circunferencia de diámetro AB.

Construcción de triángulos

Un triángulo queda determinado por tres datos independientes, al menos uno de ellos un lado. Con tres lados se usan dos arcos; con lados y ángulos, el transportador o el cartabón. Cuando los datos son indirectos (altura, mediana, perímetro, ángulo opuesto), cada dato se convierte en un lugar geométrico y el vértice que falta está en su intersección.

Más en la lección Triángulos con datos indirectos.

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