Triángulos con datos indirectos

Cuando los datos son una altura, una mediana o el ángulo opuesto a un lado, el vértice que falta se busca como intersección de lugares geométricos. Es el tipo de triángulo que cae en la PAU.

La idea: dos pistas para encontrar un sitio

Imagina que buscas un tesoro y tienes dos pistas: «está a 5 pasos del árbol» y «está en la orilla del río». La primera dice que está en una circunferencia alrededor del árbol. La segunda, que está en la línea del río. El tesoro está donde se cruzan.

Esas líneas se llaman lugares geométricos: el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición. Es la herramienta más importante de la geometría plana.

Cada dato del triángulo es un lugar geométrico del vértice que falta. El vértice está donde se cortan.

Los lugares que tienes que saber

A la misma distancia de A y B: la mediatriz de AB.
A la misma distancia de dos rectas: sus bisectrices.
A la distancia d de una recta: dos paralelas a distancia d.
A la distancia r de un punto: la circunferencia de radio r.
Desde donde AB se ve con un ángulo α: el arco capaz.

Traducir cada dato a un lugar

Dibuja como base el lado que conozcas. Entonces, cada dato restante dice algo del vértice que falta:

Una altura h sobre la base: el vértice está en una paralela a la base, a la distancia h.
Una mediana m sobre la base: en un arco de radio m, con centro en el punto medio de la base.
El ángulo opuesto: en su arco capaz sobre la base.
Otro lado: en un arco con centro en un extremo.

Lado, altura y mediana

Lado, altura y mediana: El vértice está en la paralela y en el arco desde el punto medio.

Lado, ángulo opuesto y altura

Lado, ángulo opuesto y altura: El arco capaz de 60° y la paralela a 40 mm se cortan en A.

Un caso especial: el triángulo rectángulo

El arco capaz de 90° es una semicircunferencia de diámetro la hipotenusa. Por eso, en cualquier triángulo rectángulo el vértice del ángulo recto está en esa semicircunferencia.

Rectángulo por hipotenusa y altura: Semicircunferencia y paralela a la distancia de la altura.

Datos que parecen imposibles: suma de lados y perímetro

Si te dan b + c, parece que no se puede usar: no hay un segmento con esa medida en el triángulo. El truco es estirar el triángulo hasta que aparezca ese segmento y, después, recuperarlo con una mediatriz.

Con un lado, la suma de los otros dos y el ángulo opuesto

Prolonga BA y lleva AD = AC. Así, BD = b + c. El triángulo ACD es isósceles, y por eso su ángulo en D vale la mitad de A. Eso da un arco capaz de A/2 sobre BC, y un arco de radio b + c desde B corta en D. Por último, la mediatriz de DC corta a BD en A, porque A equidista de C y de D.

Lado, suma de lados y ángulo: A/2 = 30°. La mediatriz de DC recupera el vértice A.

Con el perímetro y dos ángulos

Estira los tres lados en una recta: PQ es el perímetro. Por el mismo razonamiento, los ángulos en P y Q son las mitades de B y C. Sus rectas se cortan en A, y las mediatrices de AP y AQ cortan a PQ en B y C.

Perímetro y dos ángulos: Mitades de los ángulos en los extremos, y dos mediatrices.

Errores típicos

Trazar el lugar de un solo lado. La paralela de la altura y el arco capaz tienen dos ramas.
Centrar la mediana en un vértice. El arco va desde el punto medio.
Contar mal las soluciones. Mira cuántas veces se cortan los lugares, y cuáles son iguales.
Olvidar el ángulo mitad en los problemas de suma o perímetro.

Comprueba si lo has entendido

¿Qué lugar corresponde a la altura hₐ con base BC? Una paralela a BC a esa distancia.

¿Dónde está el vértice del ángulo recto si conoces la hipotenusa? En la semicircunferencia que tiene la hipotenusa como diámetro.

Dato: A = 70°, y b + c. ¿Qué arco capaz necesitas? El de 35° sobre BC.

Resumen para repasar

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición. Cuando un punto tiene que cumplir dos condiciones, se dibuja el lugar de cada una y el punto está donde se cortan. Es la herramienta con la que se resuelven casi todos los problemas de triángulos y tangencias.

Puntos a la misma distancia de A y B: la mediatriz de AB.
Puntos a la misma distancia de dos rectas: sus bisectrices.
Puntos a una distancia d de una recta: dos paralelas a distancia d.
Puntos a una distancia r de un punto: la circunferencia de radio r.
Puntos desde los que AB se ve con un ángulo α: el arco capaz.

Arco capaz

El arco capaz de un ángulo α sobre un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos desde los que AB se ve con el ángulo α. Son dos arcos simétricos respecto de AB. El de 90° es la circunferencia de diámetro AB.

Traza la mediatriz de AB.
Por A, traza una recta que forme el ángulo α con AB, hacia el lado contrario al del arco.
Por A, traza la perpendicular a esa recta: corta a la mediatriz en el centro O.
Con centro en O y radio OA, traza el arco de A a B.

Construcción de triángulos

Un triángulo queda determinado por tres datos independientes, al menos uno de ellos un lado. Con tres lados se usan dos arcos; con lados y ángulos, el transportador o el cartabón. Cuando los datos son indirectos (altura, mediana, perímetro, ángulo opuesto), cada dato se convierte en un lugar geométrico y el vértice que falta está en su intersección.

Dibuja el dato que sea un segmento (normalmente un lado).
Traduce cada uno de los otros datos a un lugar geométrico del vértice que falta.
El vértice está donde se cortan; cuenta cuántas soluciones hay.

En el examen. Antes de dibujar, escribe qué lugar geométrico corresponde a cada dato y comprueba cuántas soluciones hay.

Ejercicios resueltos

Triángulo dados un lado, el ángulo opuesto y su altura — Construye el triángulo ABC del que se conocen el lado a = BC = 60 mm, el ángulo A = 60° y la altura sobre a, hₐ = 40 mm.
Triángulo dados un lado, su altura y su mediana — Construye el triángulo ABC con a = 70 mm, la altura hₐ = 40 mm y la mediana mₐ = 48 mm.
Triángulo dados el perímetro y dos ángulos — Construye el triángulo ABC de perímetro 170 mm con B = 60° y C = 45°.
Triángulo rectángulo dadas la hipotenusa y la altura — Construye el triángulo rectángulo de hipotenusa a = BC = 70 mm y altura sobre ella h = 25 mm.
Triángulo dados un lado, la suma de los otros dos y el ángulo opuesto — Construye el triángulo ABC con a = BC = 60 mm, b + c = 95 mm y A = 60°.