Aprende · Transformaciones geométricas
La homotecia amplía o reduce una figura desde un centro. Da figuras semejantes con los lados paralelos y es una herramienta muy útil en tangencias.
Imagina un proyector que lanza una foto sobre una pared. Si lo alejas, la imagen crece; si lo acercas, se hace más pequeña. Pero siempre es la misma foto, con la misma forma: solo cambia el tamaño. Eso es una homotecia. La lámpara del proyector es el centro O, y lo que crece la imagen es la razón k.
Cada punto de la foto viaja en línea recta desde la lámpara. Por eso, un punto A y su imagen A' están siempre alineados con el centro, y la razón dice cuántas veces más lejos queda A'.
OA' = k · OA, con O, A y A' en la misma recta.
Qué hace la razón: Todos los puntos quedan en la recta OA; la razón decide a qué distancia y a qué lado de O.
Una homotecia cambia el tamaño, pero respeta casi todo lo demás. Estas propiedades son las que hacen que dibujarla sea tan rápido:
No hace falta medir todos los puntos. Basta con hallar uno y sacar los demás con paralelas.
Triángulo homotético de razón 2: Solo A' se halla con la razón. B' y C' salen con paralelas a los lados.
Se hace igual, pero el punto homólogo queda al otro lado del centro. Por eso hay que prolongar las rectas más allá de O. Las paralelas siguen funcionando exactamente igual, aunque la figura salga cabeza abajo.
Homotecia de razón −1/2: La figura queda al otro lado de O, a la mitad de tamaño y girada 180°.
Todas las circunferencias tienen la misma forma, así que siempre puedes pasar de una a otra con una homotecia. De hecho, hay dos centros posibles, y los dos están en la recta que une los centros:
Centros de homotecia de dos circunferencias: P₁P₂ da el centro directo E y P₁Q₂ el centro inverso I.
Esto no es una curiosidad: por E pasan las tangentes exteriores comunes y por I, las interiores. Muchos ejercicios de tangencias se resuelven así.
Este es el uso más ingenioso, y aparece en exámenes. Imagina que hay que meter un cuadrado dentro de un triángulo, con un lado sobre la base y los otros dos vértices tocando los lados. Calcular su tamaño es difícil. Pero dibujar un cuadrado que cumpla casi todo es muy fácil: uno cualquiera con un lado sobre la base y un vértice en un lado.
Luego usas la homotecia como si fuera un zoom desde un vértice del triángulo: agrandas ese cuadrado auxiliar hasta que su otro vértice toque el lado que faltaba. Como la homotecia conserva la forma, sigue siendo un cuadrado.
Cuadrado inscrito en un triángulo: Primero un cuadrado auxiliar pequeño. La recta desde A hasta su vértice marca dónde toca el cuadrado bueno a BC.
Si te cuesta el tamaño, dibuja la forma correcta de cualquier tamaño y ajústala con una homotecia.
Dos figuras son semejantes si tienen los mismos ángulos y los lados proporcionales, aunque estén giradas o en otro sitio. La homotecia es un caso particular: son semejantes y además tienen los lados paralelos y un centro común. Una escala es también una semejanza entre el dibujo y la realidad: en 1:50, cada medida del dibujo es 50 veces menor que la real.
OA mide 20 mm y k = 3. ¿Cuánto mide OA'? 60 mm, en la misma semirrecta que A.
OA mide 30 mm y k = −1/3. ¿Dónde queda A'? A 10 mm de O, al otro lado del centro.
Un triángulo tiene 10 cm² de área. ¿Qué área tiene su homotético de razón 3? 90 cm²: el área se multiplica por k² = 9.
¿Qué relación hay entre un lado y su homólogo? Son paralelos, y la longitud del homólogo es la del lado multiplicada por el valor de k.
Una homotecia de centro O y razón k transforma cada punto A en A', alineado con O, de manera que OA' = k · OA (si k es negativa, A' queda al otro lado de O). Conserva los ángulos y la forma: las rectas homotéticas son paralelas. Basta con un punto y la razón; los demás salen con paralelas.
OA' = k · OA
Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales; la razón de semejanza es el cociente entre lados homólogos. Una escala es una semejanza entre el dibujo y la realidad: escala = medida en el dibujo / medida real (1:50 reduce, 2:1 amplía).
E = dibujo / realidad