Aprende · Geometría plana
Construcción a partir de datos, puntos notables y cuadriláteros.
Los triángulos con datos directos se construyen con arcos y ángulos. Es la base para los problemas con datos indirectos.
Ejercicios resueltos: Triángulo equilátero dado el lado, Triángulo dados sus tres lados, Triángulo dados un lado y los dos ángulos contiguos, Triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido, Triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un cateto, Triángulo isósceles dados la base y el ángulo desigual.
Cuando los datos son una altura, una mediana o el ángulo opuesto a un lado, el vértice que falta se busca como intersección de lugares geométricos. Es el tipo de triángulo que cae en la PAU.
En el examen. Antes de dibujar, escribe qué lugar geométrico corresponde a cada dato y comprueba cuántas soluciones hay.
Ejercicios resueltos: Triángulo dados un lado, el ángulo opuesto y su altura, Triángulo dados un lado, su altura y su mediana, Triángulo dados el perímetro y dos ángulos, Triángulo rectángulo dadas la hipotenusa y la altura, Triángulo dados un lado, la suma de los otros dos y el ángulo opuesto.
Cada familia de rectas notables se corta en un punto con una propiedad útil: el centro de la circunferencia que pasa por los vértices, el de la que toca a los lados…
Ejercicios resueltos: Circunferencia circunscrita (circuncentro), Circunferencia inscrita (incentro), Baricentro, ortocentro, circuncentro y recta de Euler, Ortocentro de un triángulo, Baricentro de un triángulo.
Los cuadriláteros se construyen dividiéndolos en triángulos y usando las propiedades de sus diagonales y de sus ángulos.
Ejercicios resueltos: Rombo dados la diagonal y el lado, Cuadrado dada la diagonal, Rectángulo dados la diagonal y un lado, Trapecio isósceles dadas las bases y la altura, Paralelogramo dados dos lados y el ángulo que forman, Trapecio rectángulo dadas las bases y el lado oblicuo, Paralelogramo dadas las diagonales y el ángulo que forman.
Construir un triángulo a partir de sus datos es uno de los ejercicios más frecuentes. La idea que lo resuelve casi todo es la de los lugares geométricos: cada dato (un lado, un ángulo, una altura, una mediana) dice dónde puede estar un vértice, y el vértice está donde se cortan dos de esos lugares. A veces hay dos soluciones, una o ninguna, y eso también hay que decirlo.
Los puntos notables (circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro) y los cuadriláteros completan el tema. Para estudiarlo, empieza por los casos con lados y ángulos, sigue con alturas y medianas, y deja para el final los que piden un perímetro o una suma de lados, que se resuelven transformando el dato en un triángulo auxiliar.