Cónicas

Tangente y normal a la elipse en un punto

Enunciado

Dada la elipse de ejes 2a = 90 mm y 2b = 60 mm, halla sus focos y traza la tangente y la normal en su punto P.

Resolución paso a paso

  1. Los focos. Con centro en B, extremo del eje menor, y radio a = 45 mm, corta el eje mayor en los focos F₁ y F₂. Por qué: Cualquier punto de la elipse cumple PF₁ + PF₂ = 2a. B está a la misma distancia de los dos focos, luego BF₁ = BF₂ = a.
  2. Radios vectores. Une P con los dos focos y prolonga F₁P más allá de P.
  3. Bisectriz exterior. Con centro en P y radio PF₂, corta la prolongación en F₂'. La tangente es la mediatriz de F₂F₂', que pasa por P. Por qué: La tangente en P es la bisectriz del ángulo que forma PF₂ con la prolongación de F₁P (ángulo exterior de los radios vectores).
  4. Tangente y normal. Traza por P la perpendicular a F₂F₂': es la tangente t. La normal n es la perpendicular a t en P (la bisectriz interior de los radios vectores).

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Las cónicas

La elipse, la parábola y la hipérbola son las secciones de un cono de revolución por un plano que no pasa por el vértice: si el plano corta a todas las generatrices, elipse; si es paralelo a una, parábola; si es paralelo a dos, hipérbola. Todas se definen por sus focos y sus directrices, y en todas la tangente en un punto es bisectriz de los radios vectores.

Elipse

La elipse es el lugar de los puntos cuya suma de distancias a los dos focos es constante e igual al eje mayor 2a. Los vértices del eje menor están a distancia a de los focos. La circunferencia principal (centro O, radio a) contiene los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes; las focales (centro en un foco, radio 2a) se usan para tangentes e intersecciones.

Diámetros conjugados

Dos diámetros de una elipse son conjugados si cada uno es paralelo a las tangentes en los extremos del otro. Los ejes son el único par de conjugados perpendiculares. Conocidos dos diámetros conjugados se pueden hallar los ejes (construcción de Rytz) o dibujar la elipse por afinidad.

Más en la lección Elipse.

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