Cónicas
Tangentes a la elipse paralelas a una dirección
Enunciado
Traza las tangentes a la elipse de focos F₁ y F₂ y eje mayor 2a = 90 mm que son paralelas a la recta d, y halla sus puntos de tangencia.
Resolución paso a paso
- Circunferencia principal. Con centro en O y radio a = 45 mm, traza la circunferencia principal. Por qué: El pie de la perpendicular trazada desde un foco a cualquier tangente está en la circunferencia principal.
- Perpendicular a d desde F₁. Por F₁, traza la perpendicular a d: corta a la circunferencia principal en M₁ y M₂.
- Las tangentes. Por M₁ y por M₂, traza las paralelas a d: son las tangentes.
- Puntos de tangencia. Lleva F₁M₁ al otro lado de M₁ para obtener el simétrico F₁' de F₁ respecto de t₁. La recta F₂F₁' corta a t₁ en el punto de tangencia T₁. Igual con t₂. Por qué: Los radios vectores del punto de tangencia forman ángulos iguales con la tangente, así que T, F₂ y el simétrico de F₁ están alineados.
Conceptos
- Circunferencia principal: pies de las perpendiculares desde un foco a las tangentes
- El simétrico de un foco respecto de una tangente está alineado con el otro foco y el punto de tangencia
La teoría de este ejercicio
Tangentes a la elipse
La tangente en un punto P es la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores PF₁ y PF₂. Desde un punto exterior se trazan con la circunferencia focal: el simétrico de un foco respecto de la tangente está en la focal del otro foco, y a la vez en la circunferencia de centro el punto exterior que pasa por ese foco.
Intersección de una recta con una cónica
Los puntos donde una recta corta a una cónica no se sacan cortando la curva dibujada a mano: se construyen. Son los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal o a la directriz; se hallan por potencia, con el centro radical sobre la recta dada.
Más en la lección Tangentes e intersecciones.
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