Cónicas

Tangentes a una elipse desde un punto exterior

Enunciado

Traza las tangentes desde el punto P a la elipse de focos F₁ y F₂ y eje mayor 2a = 80 mm, y halla los puntos de tangencia.

Resolución paso a paso

  1. Circunferencia focal de F₁. Con centro en F₁ y radio 2a = 80 mm, traza la circunferencia focal. Por qué: Para cualquier tangente, el simétrico de F₂ respecto de ella está en esta circunferencia (a 2a de F₁).
  2. Circunferencia de centro P. Con centro en P y radio PF₂, traza otra circunferencia: corta a la focal en M₁ y M₂. Por qué: El simétrico de F₂ respecto de una tangente que pasa por P está a la distancia PF₂ de P. M₁ y M₂ cumplen las dos condiciones.
  3. Trazar la mediatriz. Pincha el compás en F₂ con una abertura mayor que la mitad de F₂M₁ y traza un arco a cada lado del segmento. Sin cambiar la abertura, pincha en M₁ y traza otro arco que corte a los anteriores en 1 y 2. Une 1 y 2 con la regla. Esa recta es la mediatriz y corta a F₂M₁ en su punto medio M. Por qué: Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de F₂ y de M₁. Con el mismo radio desde ambos extremos encontraremos dos de esos puntos.
  4. Trazar la mediatriz. Pincha el compás en F₂ con una abertura mayor que la mitad de F₂M₂ y traza un arco a cada lado del segmento. Sin cambiar la abertura, pincha en M₂ y traza otro arco que corte a los anteriores en 1 y 2. Une 1 y 2 con la regla. Esa recta es la mediatriz y corta a F₂M₂ en su punto medio M. Por qué: Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de F₂ y de M₂. Con el mismo radio desde ambos extremos encontraremos dos de esos puntos.
  5. Puntos de tangencia. Une F₁ con M₁ y con M₂: cortan a cada tangente en su punto de tangencia T₁ y T₂. Por qué: El punto de tangencia está alineado con F₁ y con el simétrico de F₂ (los radios vectores forman ángulos iguales con la tangente).

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Tangentes a la elipse

La tangente en un punto P es la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores PF₁ y PF₂. Desde un punto exterior se trazan con la circunferencia focal: el simétrico de un foco respecto de la tangente está en la focal del otro foco, y a la vez en la circunferencia de centro el punto exterior que pasa por ese foco.

Intersección de una recta con una cónica

Los puntos donde una recta corta a una cónica no se sacan cortando la curva dibujada a mano: se construyen. Son los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal o a la directriz; se hallan por potencia, con el centro radical sobre la recta dada.

Más en la lección Tangentes e intersecciones.

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