Las tangentes y los puntos de corte con una recta no se dibujan a ojo sobre la curva: se construyen con las circunferencias focales o la directriz.
Si dibujas una elipse con plantilla y le apoyas la regla, parece que la recta es tangente, pero el punto real puede estar a varios milímetros. En un examen, eso es un error. Por suerte, hay un truco que permite hacerlo con exactitud, sin dibujar la curva.
Una tangente tiene una propiedad preciosa: si reflejas un foco en la tangente, el punto cae en la circunferencia focal del otro foco. Esa circunferencia focal tiene centro en un foco y radio 2a.
El simétrico de un foco respecto a la tangente está en la focal del otro foco.
Sea T el punto de tangencia. Como la tangente es bisectriz de los radios vectores, TF₂ mide lo mismo que TF₂', su simétrico. Así, F₁F₂' = F₁T + TF₂ = 2a. Por eso F₂' está a 2a de F₁.
La tangente pasa por P, y el simétrico M de F₂ está a la misma distancia de P que F₂. Por tanto, M está en dos circunferencias.
Tangentes a la elipse desde un punto: Dos circunferencias, dos mediatrices y dos puntos de tangencia.
Lo mismo en la hipérbola: Focal de radio 2a, y los puntos M.
Aquí la directriz hace de focal. El simétrico del foco respecto a la tangente está en la directriz. Y además, el punto de tangencia está en la perpendicular a la directriz por ese punto.
Tangentes a la parábola desde un punto: La circunferencia de centro Q corta a la directriz en D₁ y D₂.
Hay otra propiedad útil: el pie de la perpendicular desde un foco a una tangente está en la circunferencia principal, de radio a, centrada en O. En la parábola, este lugar es la tangente en el vértice. Como ya conoces la dirección, solo hay que trazar la perpendicular desde el foco.
Tangentes a la elipse paralelas a d: La perpendicular a d corta a la principal en M₁ y M₂.
Tangente a la parábola paralela a r: La perpendicular desde F corta a la tangente en el vértice.
Tampoco se hacen a ojo. El punto de corte P está en la recta r, a la misma distancia de F₂ y de la focal. Por tanto, es el centro de una circunferencia que pasa por F₂ y es tangente a la focal. Pasa también por el simétrico de F₂ respecto a r. Y eso es un problema de potencia (PPC) que ya sabes resolver. En la parábola, la directriz sustituye a la focal, de modo que es un PPR.
Recuerda: PPR: Un corte recta–parábola se reduce a este caso.
¿Qué radio tiene la circunferencia focal? 2a.
¿Qué sustituye a la focal en la parábola? La directriz.
¿Dónde está el pie de la perpendicular desde un foco a una tangente de la elipse? En la circunferencia principal.
La tangente en un punto P es la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores PF₁ y PF₂. Desde un punto exterior se trazan con la circunferencia focal: el simétrico de un foco respecto de la tangente está en la focal del otro foco, y a la vez en la circunferencia de centro el punto exterior que pasa por ese foco.
Los puntos donde una recta corta a una cónica no se sacan cortando la curva dibujada a mano: se construyen. Son los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal o a la directriz; se hallan por potencia, con el centro radical sobre la recta dada.
En el examen. Nunca des como solución el corte de una recta con una cónica trazada a mano: constrúyelo.