Cónicas
Tangentes a la parábola desde un punto exterior
Enunciado
Traza las tangentes a la parábola de foco F y directriz d desde el punto Q, y halla los puntos de tangencia.
Resolución paso a paso
- Circunferencia de centro Q. Con centro en Q y radio QF, traza una circunferencia: corta a la directriz en D₁ y D₂. Por qué: Si t es tangente y pasa por Q, el simétrico de F respecto de t está en la directriz y a la distancia QF de Q.
- Las tangentes. Las tangentes son las mediatrices de FD₁ y de FD₂: traza por Q las perpendiculares a esos segmentos.
- Puntos de tangencia. Por D₁ y D₂, traza las perpendiculares a la directriz: cortan a cada tangente en su punto de tangencia. Por qué: El punto de tangencia T equidista de F y de la directriz, y su proyección sobre la directriz es el simétrico de F.
Conceptos
- El simétrico del foco respecto de una tangente está en la directriz
La teoría de este ejercicio
Tangentes a la elipse
La tangente en un punto P es la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores PF₁ y PF₂. Desde un punto exterior se trazan con la circunferencia focal: el simétrico de un foco respecto de la tangente está en la focal del otro foco, y a la vez en la circunferencia de centro el punto exterior que pasa por ese foco.
Intersección de una recta con una cónica
Los puntos donde una recta corta a una cónica no se sacan cortando la curva dibujada a mano: se construyen. Son los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal o a la directriz; se hallan por potencia, con el centro radical sobre la recta dada.
Más en la lección Tangentes e intersecciones.
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