Triángulos
Circunferencia inscrita (incentro)
Enunciado
Traza la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo ABC.
Resolución paso a paso
- Trazar la bisectriz. Con centro en el vértice A, traza un arco que corte los dos lados del ángulo en 1 y 2. Con centro en 1 y después en 2, con la misma abertura, traza dos arcos que se corten en 3. Une A con 3: es la bisectriz, que divide el ángulo en dos iguales. Por qué: Así tenemos un punto en cada lado a la misma distancia del vértice.
- Trazar la bisectriz. Con centro en el vértice B, traza un arco que corte los dos lados del ángulo en 1 y 2. Con centro en 1 y después en 2, con la misma abertura, traza dos arcos que se corten en 3. Une B con 3: es la bisectriz, que divide el ángulo en dos iguales. Por qué: Así tenemos un punto en cada lado a la misma distancia del vértice.
- Incentro. Las bisectrices se cortan en el incentro I. Por qué: I equidista de los tres lados porque está en dos bisectrices.
- Trazar la perpendicular. Con centro en I, traza un arco que corte la recta lAB en 1 y 2. Desde 1 y desde 2, con una misma abertura (mayor que la mitad de 12), traza dos arcos que se corten en 3. Une I y 3: es la perpendicular a lAB por I. Por qué: 1 y 2 quedan a la misma distancia de I: la perpendicular buscada será la mediatriz de 12.
- Circunferencia inscrita. El pie H de la perpendicular es el punto de tangencia. Con centro en I y radio IH, traza la circunferencia. Por qué: El radio en el punto de tangencia es perpendicular al lado.
Conceptos
La teoría de este ejercicio
Rectas y puntos notables del triángulo
Las mediatrices se cortan en el circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita. Las bisectrices, en el incentro, centro de la inscrita. Las medianas (de cada vértice al punto medio del lado opuesto), en el baricentro, que está a 2/3 de cada vértice. Las alturas, en el ortocentro. Circuncentro, baricentro y ortocentro están en la recta de Euler.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de AB es la recta perpendicular a AB por su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de A y de B.
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz divide un ángulo en dos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo, por eso los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas están en ella.
Más en la lección Rectas y puntos notables.
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