Aprende · Triángulos y cuadriláteros
Cada familia de rectas notables se corta en un punto con una propiedad útil: el centro de la circunferencia que pasa por los vértices, el de la que toca a los lados…
Cada triángulo tiene cuatro familias de tres rectas especiales. Lo sorprendente es que, en cada familia, las tres rectas pasan por el mismo punto. Y como basta con cruzar dos, solo hay que dibujar dos rectas para hallar cada punto.
La mediatriz de AB tiene todos los puntos a la misma distancia de A y B. La de BC, a la misma de B y C. Por tanto, su cruce está a la misma distancia de los tres vértices. Por eso, es el centro de la circunferencia circunscrita, y por eso por tres puntos no alineados siempre pasa una circunferencia.
Circunferencia circunscrita: Dos mediatrices bastan.
Su posición depende del tipo de triángulo: dentro en el acutángulo, en el punto medio de la hipotenusa en el rectángulo, y fuera en el obtusángulo.
La bisectriz tiene sus puntos a la misma distancia de los dos lados. Por ello, el cruce de dos bisectrices está a la misma distancia de los tres lados. El radio se obtiene con la perpendicular a un lado, nunca a ojo. Ese pie es el punto de tangencia.
Circunferencia inscrita: Dos bisectrices y una perpendicular para el radio.
El incentro siempre está dentro del triángulo.
Una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Si recortas un triángulo de cartón y lo apoyas en la punta de un lápiz justo en el baricentro, se queda en equilibrio.
El baricentro está a 2/3 de cada vértice, y a 1/3 del lado.
Baricentro: Se hallan los puntos medios y se trazan dos medianas.
Una altura va de un vértice al lado opuesto, en perpendicular. En un triángulo obtuso hay que prolongar los lados, de modo que el ortocentro queda fuera. En uno rectángulo, coincide con el vértice del ángulo recto.
Ortocentro: Dos alturas se cortan en H. La tercera sirve de comprobación.
Si unes los pies de las tres alturas sale el triángulo órtico. Sus bisectrices son las alturas del triángulo original.
Hay más sorpresas: el circuncentro, el baricentro y el ortocentro están siempre alineados, en la recta de Euler. Y no solo eso: el baricentro está en un lugar fijo, a doble distancia del ortocentro que del circuncentro.
HG = 2 · GO
Recta de Euler: O, G y H quedan alineados. El incentro normalmente no está en ella.
¿Qué punto es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices? El circuncentro.
Una mediana mide 60 mm. ¿A qué distancia del vértice está el baricentro? A 40 mm.
¿Dónde está el ortocentro de un triángulo rectángulo? En el vértice del ángulo recto.
Las mediatrices se cortan en el circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita. Las bisectrices, en el incentro, centro de la inscrita. Las medianas (de cada vértice al punto medio del lado opuesto), en el baricentro, que está a 2/3 de cada vértice. Las alturas, en el ortocentro. Circuncentro, baricentro y ortocentro están en la recta de Euler.
La mediatriz de AB es la recta perpendicular a AB por su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de A y de B.
PA = PB para todo punto P de la mediatriz
La bisectriz divide un ángulo en dos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo, por eso los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas están en ella.