Polígonos regulares

Pentágono regular dado el lado

Enunciado

Construye el pentágono regular de lado AB = 40 mm (método exacto).

Resolución paso a paso

  1. Trazar la perpendicular. Con centro en B, traza un arco que corte la recta lAB en 1 y 2. Desde 1 y desde 2, con una misma abertura (mayor que la mitad de 12), traza dos arcos que se corten en 3. Une B y 3: es la perpendicular a lAB por B. Por qué: 1 y 2 quedan a la misma distancia de B: la perpendicular buscada será la mediatriz de 12.
  2. Punto N. Con centro en B y radio AB, traza un arco que corte a la perpendicular en N. Por qué: BN = AB. El segmento MN, desde el punto medio del lado, medirá AB·√5/2.
  3. La diagonal AP. Halla el punto medio M de AB. Con centro en M y radio MN, traza un arco que corte a la prolongación de AB en P. AP es la diagonal del pentágono. Por qué: AP = AB/2 + AB·√5/2 = AB·(1 + √5)/2: el lado por el número de oro, que es lo que mide la diagonal del pentágono regular.
  4. Vértice D. Con centro en A y en B y radio AP, traza dos arcos: se cortan en D, el vértice opuesto al lado AB. Por qué: D está a la distancia de una diagonal de A y de B.
  5. Vértices C y E. Con centro en D y radio AB, corta el arco de centro B y radio AB en C, y el de centro A y radio AB en E. Por qué: C está a un lado de B y de D; E, a un lado de A y de D.
  6. El pentágono. Une A, B, C, D y E.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Polígonos regulares dado el lado

Dado el lado, se busca el centro de la circunferencia circunscrita o se construye vértice a vértice. El hexágono está formado por seis triángulos equiláteros. Para el pentágono se construye la diagonal con la sección áurea del lado. El método general usa la circunferencia que pasa por los vértices de un polígono semejante.

Sección áurea y número de oro

Un punto divide un segmento en media y extrema razón (sección áurea) cuando el segmento entero es a la parte mayor como la mayor a la menor. Esa razón es el número de oro φ. Aparece en el pentágono y el decágono regulares: la diagonal del pentágono es su lado por φ.

Más en la lección Polígonos dado el lado.

Más ejercicios de polígonos regulares

Aprende: todo el temario · Resuelve tu ejercicio con una foto