Cuando el dato es el lado hay que construir el polígono vértice a vértice o hallar primero el centro de la circunferencia circunscrita.
En muchos ejercicios no te dan la circunferencia, sino el lado. Es como empezar un puzzle con una sola pieza colocada. Hay dos caminos: hallar el centro y trazar la circunferencia circunscrita, o construir vértice a vértice.
En cuanto tienes el centro, llevas el lado alrededor y se acabó.
Levanta una perpendicular y lleva el lado.
Cuadrado dado el lado: Perpendicular, y dos arcos para el cuarto vértice.
Un hexágono se forma con seis triángulos equiláteros. Por tanto, el centro es el vértice del triángulo equilátero sobre el lado, y el radio es igual al lado.
Hexágono dado el lado: Los arcos desde A y B dan O.
Se parte del cuadrado de lado AB. Su centro P es el punto de la mediatriz a la distancia MA. Y con centro en P y radio PA se corta la mediatriz en el centro O del octógono.
Octógono dado el lado: Del centro del cuadrado al del octógono.
La diagonal del pentágono es el lado por φ. Por tanto, una vez conoces la diagonal, tienes todo.
Pentágono dado el lado: AP es la diagonal, igual a AB · φ.
Es el camino contrario: se divide la diagonal por φ, con la sección áurea, y se obtiene el lado.
Pentágono dada la diagonal: La sección áurea de AC da el lado.
En el decágono, el radio es el lado por φ. Por tanto, se busca el radio con la misma construcción.
Decágono dado el lado: Los arcos de radio AD se cortan en el centro.
Para el resto, hay un método general: en la mediatriz del lado, se marca una escala de centros. El del cuadrado, P₄; el del hexágono, P₆; y el punto medio entre ellos, P₅, es aproximadamente el del pentágono, y así sucesivamente, a intervalos iguales. Es aproximado, pero funciona.
¿Por qué el radio del hexágono es igual al lado? Porque está formado por triángulos equiláteros.
Lado de un pentágono de 50 mm. ¿Cuánto mide su diagonal? Unos 81 mm.
Lado del decágono de 30 mm. ¿Cuánto mide el radio? Unos 48,5 mm.
Dado el lado, se busca el centro de la circunferencia circunscrita o se construye vértice a vértice. El hexágono está formado por seis triángulos equiláteros. Para el pentágono se construye la diagonal con la sección áurea del lado. El método general usa la circunferencia que pasa por los vértices de un polígono semejante.
diagonal del pentágono = lado · φ
Un punto divide un segmento en media y extrema razón (sección áurea) cuando el segmento entero es a la parte mayor como la mayor a la menor. Esa razón es el número de oro φ. Aparece en el pentágono y el decágono regulares: la diagonal del pentágono es su lado por φ.
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618