Aprende · Triángulos y cuadriláteros
Los triángulos con datos directos se construyen con arcos y ángulos. Es la base para los problemas con datos indirectos.
Construir un triángulo parece un problema de tres puntos, pero casi siempre es de uno solo. Dibujas primero un lado, y con eso ya tienes dos vértices. Lo único que queda por averiguar es dónde está el tercero.
Cada dato que te dan es una pista sobre ese punto. «Está a 55 mm de C» significa que está en una circunferencia. «Sale de B formando 45°» significa que está en una recta. Dibujas las dos pistas y el vértice aparece donde se cruzan. Es como quedar con alguien en el cruce de dos calles.
Dibuja un lado, convierte cada otro dato en una línea, y el tercer vértice está donde se cortan.
Los enunciados usan siempre el mismo código, y conviene tenerlo claro porque te ahorra muchos errores. Los vértices van en mayúscula: A, B y C. Cada lado lleva la letra minúscula del vértice que tiene enfrente: el lado a es el que no toca a A, es decir, BC. Cada ángulo se llama como su vértice.
Cómo se nombra un triángulo: El lado a está enfrente del vértice A, el b enfrente de B y el c enfrente de C.
Tres datos bastan para fijar un triángulo, pero al menos uno tiene que ser una longitud. Si solo te dan los tres ángulos, hay infinitos triángulos con esa forma, unos más grandes que otros.
Es el caso más directo, y solo necesitas el compás. Dibuja el lado más largo; así el triángulo queda bien colocado sobre el papel. Por ejemplo, con a = 70, b = 55 y c = 45 mm, dibuja BC = 70 mm. Ahora piensa en el vértice A:
Triángulo dados sus tres lados: Dos arcos, un corte y el triángulo cerrado. Los arcos se cortan también por debajo: daría el mismo triángulo, dado la vuelta.
El triángulo equilátero es este mismo caso con los tres lados iguales: los dos arcos tienen como radio el propio lado.
Triángulo equilátero: Los dos arcos llevan el mismo radio, el lado AB.
No. Si los dos lados pequeños juntos no llegan a sumar el grande, los arcos no se tocan y el triángulo no existe. Es fácil de imaginar: con dos palos de 25 y 30 cm no puedes unir dos puntos separados 70 cm. Esta regla se llama desigualdad triangular.
Cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos.
Tres lados que no forman triángulo: Con 25 y 30 mm no se alcanzan los 70 mm: los arcos no llegan a cortarse.
Ahora las pistas son rectas en vez de arcos. Dibuja el lado que te dan y traza por cada extremo la recta con su ángulo, las dos hacia el mismo lado. Donde se cortan está el tercer vértice.
Un lado y sus dos ángulos: a = 70 mm, B = 45° y C = 60°: cada recta sale de un extremo de BC con su ángulo.
Fíjate en un truco útil: los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180°. Por eso, si te dan el ángulo opuesto al lado en lugar de uno de sus extremos, solo tienes que restar. Con A = 75° y B = 45°, el ángulo C mide 180° − 75° − 45° = 60°, y ya estás en este mismo caso. Y si los ángulos suman 180° o más, ese triángulo no puede existir.
Dibuja un lado. Desde su extremo, traza la recta con el ángulo y mide sobre ella el segundo lado con el compás. Ya tienes el tercer vértice: solo queda unirlo con el vértice que falta. Aquí nunca hay dudas: siempre hay una única solución.
Dos lados y el ángulo que forman: c = 65 mm, b = 50 mm y A = 50°. El ángulo A está justo entre los lados b y c.
Este es el caso con trampa. Te dan AB, el ángulo en A y el lado a, que está enfrente de A. La recta del ángulo sale de A, y el vértice C también debe estar a la distancia a de B. Así que trazas un arco desde B y miras cuántas veces corta a la recta. Pueden pasar tres cosas:
Dos triángulos con los mismos datos: El arco desde B corta dos veces a la recta del ángulo: ABC₁ y ABC₂ cumplen los tres datos.
Tiene un ángulo de 90°. El lado opuesto a ese ángulo, el más largo, es la hipotenusa, y los otros dos son los catetos. Si te dan la hipotenusa, aquí viene lo bonito: cualquier punto de una circunferencia ve su diámetro con 90°. Por eso, el vértice del ángulo recto está en la semicircunferencia que tiene la hipotenusa como diámetro.
Rectángulo dados la hipotenusa y un cateto: La semicircunferencia sobre la hipotenusa asegura el ángulo recto; el arco del cateto fija el punto.
Tiene dos lados iguales. Como el vértice está a la misma distancia de los dos extremos de la base, está siempre en la mediatriz de la base. Esa es ya una de las dos pistas: solo te falta otra, como la altura, los lados iguales o el ángulo del vértice. Si es el ángulo del vértice, la segunda pista es el arco capaz de ese ángulo sobre la base.
Isósceles dada la base y el ángulo del vértice: A está en la mediatriz de BC y en el arco capaz de 40° sobre BC.
¿Se puede construir un triángulo de lados 40, 50 y 100 mm? No: 40 + 50 = 90, que es menor que 100. Los arcos no se cortarían.
En un triángulo, A = 50° y B = 70°. ¿Cuánto mide C? 60°, porque 180° − 50° − 70° = 60°.
¿Dónde está el vértice del ángulo recto si conoces la hipotenusa? En la semicircunferencia que tiene la hipotenusa como diámetro.
Te dan dos lados y un ángulo que no está entre ellos. ¿Cuántas soluciones puede haber? Ninguna, una o dos. Depende de cuántas veces corte el arco a la recta del ángulo.
Un triángulo queda determinado por tres datos independientes, al menos uno de ellos un lado. Con tres lados se usan dos arcos; con lados y ángulos, el transportador o el cartabón. Cuando los datos son indirectos (altura, mediana, perímetro, ángulo opuesto), cada dato se convierte en un lugar geométrico y el vértice que falta está en su intersección.