Tangencias

Circunferencias tangentes a una recta en un punto y a una circunferencia

Enunciado

Traza las circunferencias tangentes a la recta r en el punto T y tangentes a la circunferencia c.

Resolución paso a paso

1. Perpendicular a r por T. Traza por T la perpendicular a r: los centros de las soluciones están en ella. Por qué: En el punto de tangencia T, el radio de la solución es perpendicular a r.
2. Llevar el radio de c sobre la perpendicular. Sobre la perpendicular, lleva desde T el radio de c (15 mm) a los dos lados: obtienes T' (del lado contrario a c) y T'' (del lado de c). Por qué: Si la solución, de radio R, es tangente exterior a c, su centro O está a R + 15 de C y a R + 15 de T'. Si es tangente interior, O está a R − 15 de C y a R − 15 de T''. Así el problema se reduce a buscar un punto que equidista de dos puntos.
3. Mediatrices de T'C y T''C. Traza las mediatrices de los segmentos T'C y T''C: cortan a la perpendicular en los centros O₁ y O₂.
4. Puntos de tangencia con c. Une C con O₁ y con O₂: esas rectas cortan a c en los puntos de tangencia.
5. Las dos soluciones. Con centro en O₁ y radio O₁T, traza la solución tangente exterior a c; con centro en O₂ y radio O₂T, la tangente interior (c queda dentro).

Conceptos

• Reducir el problema: sumar o restar el radio de c
• El centro equidista de dos puntos

La teoría de este ejercicio

Propiedades de las tangencias

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está alineado con los dos centros, y la distancia entre centros es la suma de los radios (tangentes exteriores) o su diferencia (interiores). Todo punto de tangencia se construye con estas dos reglas, nunca a ojo.

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición. Cuando un punto tiene que cumplir dos condiciones, se dibuja el lugar de cada una y el punto está donde se cortan. Es la herramienta con la que se resuelven casi todos los problemas de triángulos y tangencias.

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz divide un ángulo en dos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo, por eso los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas están en ella.

Más en la lección Circunferencias tangentes.

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