Tangencias

Circunferencias tangentes a tres rectas: inscrita y exinscritas

Enunciado

Traza las circunferencias tangentes a las rectas r, s y t, que forman el triángulo ABC.

Resolución paso a paso

1. Bisectrices interiores. Traza las bisectrices de los ángulos del triángulo en A, B y C. Se cortan en el incentro I. Por qué: Cada punto de una bisectriz equidista de los dos lados del ángulo; el punto común a las bisectrices equidista de las tres rectas.
2. Circunferencia inscrita. El pie de la perpendicular desde I a t es un punto de tangencia. Con centro en I y ese radio, traza la circunferencia inscrita.
3. Bisectrices exteriores. Por cada vértice, traza la perpendicular a su bisectriz interior: es la bisectriz del ángulo exterior. Cada dos bisectrices exteriores se cortan en un exincentro, que también está en la bisectriz interior del tercer vértice. Por qué: Las rectas r, s y t forman cuatro zonas cerradas por tres lados: el triángulo y tres regiones exteriores. En cada una hay una circunferencia tangente a las tres rectas.
4. Circunferencias exinscritas. Desde cada exincentro, la perpendicular a la recta del lado opuesto da el radio. Traza las tres circunferencias exinscritas.

Conceptos

• Los centros están en las bisectrices
• Bisectrices interiores: incentro; exteriores: exincentros

La teoría de este ejercicio

Propiedades de las tangencias

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está alineado con los dos centros, y la distancia entre centros es la suma de los radios (tangentes exteriores) o su diferencia (interiores). Todo punto de tangencia se construye con estas dos reglas, nunca a ojo.

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición. Cuando un punto tiene que cumplir dos condiciones, se dibuja el lugar de cada una y el punto está donde se cortan. Es la herramienta con la que se resuelven casi todos los problemas de triángulos y tangencias.

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz divide un ángulo en dos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo, por eso los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas están en ella.

Más en la lección Circunferencias tangentes.

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